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极限存正在、继续、有界、可积、可导可微之间

2021-10-10 115 分享
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  今天我给大家分享一下极限存在、连续、有界、可积、可导/可微之间的关系,今天只说明在一元函数内他们之间的关系,后续给大家分享多元函数他们之间的关系。

  在说明它们的关系之前,我们先说明极限存在、连续、有界、可积、可导/可微,这五个的定义。

  极限存在:设函数f(x)在的某一区域内有定义,如果存在常数A,对于任意的>0,总存在正数,使得当x满足不等式,有,则其极限为A

  可导:设函数f(x)在的某一区域内有定义,若极限存在,其极限就是该函数的导数

  有界:设函数f(x)在的某一区域内有定义,如果存在正数M,使得在任意一个定义域中的数,内有

  可导一定连续在这我就不多说明了,在这我主要说明那些不一定,也就是举一些例子,下文也是如此。

  例、处处连续,但在x=0点不可导。(因为极限不存在也就是,左极限不等于右极限)比较简单我就在此不做说明。

  例、狄利克雷函数,此函数处处不连续但在单位区间[0,1]上勒贝格可积,且勒贝格积分值为0(且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上(区间不论开闭和是否有限)上的勒贝格积分值为0 )

  定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。(这是定理所以连续一定可积)

  定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。 (有间断点函数就不连续了 但仍可积)根据定理连续函数一定可积而可积不一定连续。但是具体例子不好举例说明(那天恰好看了关于狄利克雷函数的有关性质)。

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